一、前言

  本文作者是从 2007 年开始学 C语言 的，不久又接触了C++，基本就是 C/C++ 技术栈写了 14 年的样子，不算精通，但也算差强人意。著有《夜深人静写算法》系列，且承诺会持续更新，直到所有算法都学完。主要专攻 高中 OI 、大学 ACM、 职场 LeetCode 的全领域算法。由于文章中采用 C/C++ 的语法，于是就有不少读者朋友反馈语言层面就被劝退了，更何况是算法。
  于是，2021 年 06 月 12 日，《光天化日学C语言》 应运而生。并且作者在此承诺，这个系列全部文章均免费且开源，主要服务于高中生、大学生以及职场上想入坑C语言的志同道合之人，希望能给祖国引入更多编程方面的人才，并且让自己的青春不留遗憾！
  这一章我们将介绍数学中一个比较重要的概念：进制转换。

二、人物简介

• 第一位登场的就是今后会一直教我们C语言的老师 —— 光天。
  
• 第二位登场的则是今后会和大家一起学习C语言的没什么资质的小白程序猿 —— 化日。
  

三、何为进制

• 进制也就是 进位计数制 的简称，是人为定义的带进位的计数方法。
• 对于任何一种进制 —— X进制，表示每一个数位上的数运算时都是逢 X 进一位。
• 例如：十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，八进制是逢八进一，以此类推，X进制就是 逢X进一。
• 如图三-1所示，代表的则是十进制的进位演示：

图三-1

四、常用进制

1、二进制

• 我们从定义出发：逢二进一。

两只鞋子 = 1双鞋子；
二个抓手 = 1双手；

2、三进制

• 同样，什么是逢三进一呢？

3个月 = 1个季度；

3、四进制

• 好了接下来，你能举出四进制的例子吗？
  

4个季度 = 1年

5、十进制

• 当然，现实生活中遇到的最多的数字都是十进制表示。例如：0、1、2、3、… 、9、10、…

4、其它进制

七进制：7天 = 1周；
十二进制：12瓶啤酒 = 1打；
二十四进制：24小时 = 1天；
六十进制：60秒 = 1分钟；60分钟 = 1小时；

五、计算机中的进制

• 在计算机中常用的进制有哪些呢？

1、二进制

• C语言中，我们如果想表示一个二进制数，可以用0b作为前缀，然后跟上0和1组成的数字，我们来看一段代码：

#include <stdio.h>
int main() {
	int a = 0b101;
	printf("%d\n", a);
	return 0;
}

• 这段代码中，输出的结果如下：

5

• 因为%d代表输出的数是十进制，所以我们需要将二进制转换成十进制以后输出，0b101的数学表示如下：$$(101)_2$$
• 它在十进制下的值为 5。
• 因为数字比较小，所以我们可以简单列出二进制和十进制的对应关系如下：

进制	零	一	二	三	四	五
二进制	0	1	10	11	100	101
十进制	0	1	2	3	4	5

• 也就是二进制下101对应于十进制下的 5。

2、八进制

• 讲八进制之前，我们还是先来看一段代码：

#include <stdio.h>
int main() {
	int a = 0123;
	printf("%d\n", a);
	return 0;
} 

• 那么，这段代码的输出值为多少呢？

83

• 为什么呢？参考二进制的表示法，八进制的表示法是前缀1个0，然后跟上0-7的数字；
• 换言之，我们需要把 123这个八进制数转换成十进制后再输出。而转换结果就是83，由于这里数字较大，我们已经无法一个一个数出来了，所以需要进行进制转换，关于进制转换，在第四节进制转换初步里再来讲解。

3、十六进制

• 同样的，对于十六进制数，表示方式为：以0x或者0X作为前缀，跟上0-9、a-f、A-F的数字，其中大小写字母的含义相同，分别代表从10到15的数字。如下表所示：

小写字母	大写字母	代表数字
a	A	10
b	B	11
c	C	12
d	D	13
e	E	14
f	F	15

• 我们看看这段代码的输出：

#include <stdio.h>
int main() {
	int a = 0X123;
	printf("%d\n", a);
	return 0;
} 

• 对于这段代码，输出的是：

291

六、进制转换初步

1、X进制 转 十进制

对于 X 进制的数来说，我们定义以下几个概念：
  【概念1】对于数字部分从右往左编号为 0 到 $n$，第 $i$ 个数字位表示为 $d_i$，这个数字就是 $d_{n}...d_1d_0$；
  【概念2】每个数字位有一个权值；
  【概念3】第 $i$ 个数字位的权值为 $X^i$；

• 基于以上几个概念， X进制 转 十进制的值为 每一位数字 和 它的权值的乘积的累加和，如下：

• $$\sum_{i=0}^{n} X^id_i$$

• $\sum$ 是个求和符号，不必惊慌！
• 举个例子，对于上文提到的八进制的数0123，转换成十进制，只需要套用公式：

• $$\begin{aligned}\sum_{i=0}^{n} X^id_i &= \sum_{i=0}^{2} 8^id_i \\ &= 8^2 \times 1 + 8^1 \times 2 + 8^0 \times 3 \\ &= 64 + 16 + 3 \\ &= 83\end{aligned}$$

• 再如，上文提到的十六进制数0X123，转换成十进制，套用同样的公式，如下：

• $$\begin{aligned}\sum_{i=0}^{n} X^id_i &= \sum_{i=0}^{2} 16^id_i \\ &= 16^2 \times 1 + 16^1 \times 2 + 16^0 \times 3 \\ &= 256 + 32 + 3 \\ &= 291\end{aligned}$$

2、十进制 转 X进制

• 对于 十进制 转 X进制 的问题，我们可以这么来考虑：
• 从 X进制 转 十进制 的原理可知，任何一个十进制数字都是由 X进制 的幂的倍数累加而成。所以，一个数一定有 $X^0$ 这部分，而这部分，可以通过原数除上 $X$ 的余数得到。然后我们把原数除上 $X$ 后得到的数，肯定又有 $X^0$ 的部分，就这样重复的试除，直到得到的商为 零 时结束，过程中的余数，逆序一下就是对应进制的数了。
• 还是一上文的例子来说，对于291我们可以通过如下方式，转换成 十六进制。

291 除 16  ========== 余 3
18 除 16  =========== 余 2
1 除 16  ============ 余 1

• 而对于十进制的83，我们可以通过如下方式，转换成 八进制。

83 除 8 ============ 余 3
10 除 8 ============ 余 2
1 除 8 ============= 余 1

• 那么，等我们后面学习了循环语句以后，就可以教大家如何用计算机来实现进制转换了，目前阶段只需要了解下进制转换的基本原理即可。

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通过这一章，我们学会了：
  1）二进制的表示方式为：0b作为前缀，加上0-1组成的数字；
  2）八进制的表示方式为：0作为前缀，加上0-7组成的数字；
  3）十六进制的表示方式为：0x或者0X作为前缀，加上0-9、a-f，A-F组成的数字；
  4）X进制转换成十进制；
  5）十进制转换成X进制；

• 希望对你有帮助哦 ~ 祝大家早日成为 C 语言大神！

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