卡尔曼滤波器1——递归算法(笔记篇 + 代码实现)

前言

本文是观看DR_CAN老师的视频后,简单总结了一下的笔记,并根据思路写了示例代码;这里主要讲卡尔曼滤波器与递归算法。

视频地址:https://www.bilibili.com/video/BV1ez4y1X7eR

 一、卡尔曼滤波器

卡尔曼滤波器,Kalmen Filter;可理解为是一种算法:最优化 递归 数字处理 算法。它更像一种观测器,而不是一般意义的滤波器。卡尔曼滤波器应用非常广泛,主要是因为很多事物存在不确定性,不确定性体现在三个方面:

  1. 不存在完美的数学模型;
  2. 系统存在扰动,或很难建模;
  3. 测量传感器存在误差。


二、引言案例 测量硬币尺寸

不同的人员,测量同一个硬币,测量结果用Z_{k}表示,其中k是表示第k次测量;这里产生误差或不确定地方有:尺子本身的误差、不同人员测试的。

第一次测量结果,Z_{1} = 50.1mm;

第二次测量结果,Z_{2}= 50.4mm; 

第三次测量结果,Z_{3}= 50.2mm; 

 如果让我们“估计真实数据”,自然会想到取三次结果的平均值。估计值\hat{x_{k}},用平均值表示:

\hat{x_{k}} =\frac{1}{k}(Z_{1}+Z_{2}+........+Z_{k})

 = \frac{1}{k}(Z_{1}+Z_{2}+........+Z_{k-1}) + \frac{1}{k}Z_{k}

 = \frac{1}{k}\frac{k-1}{{\color{Red} k-1}}{\color{Red} (Z_{1}+Z_{2}+........+Z_{k-1})} + \frac{1}{k}Z_{k}   注释:红色部分是k-1次的平均值,\hat{x_{k-1}}

= \frac{k-1}{k} \hat{x_{k-1}}+ \frac{1}{k}Z_{k}

= \hat{x_{k-1}} -\frac{1}{k}\hat{x_{k-1}}+\frac{1}{k}Z_{k}

重新整理后得到:\hat{x_{k}} = \hat{x_{k-1}}+\frac{1}{k}(Z_{k}- \hat{x_{k-1}}) ,其代表的含义是:

本次的估计值 = 上一次的估计值 + 系数*(本次测量值 - 上一次的估计值)

 观察一下k变化的影响,k是测量的次数:

当k很大时,\frac{1}{k}趋于0,这时估计值\hat{x_{k}} = \hat{x_{k-1}},即:测试的次数很多后,本次的估计值,和上一次的估计值很接近了。

当k很小时,\frac{1}{k}趋于1,这时估计值  \hat{x_{k}}=Z_{k},即:测试的次数很少后,本次的估计值,取本次测量值更准确一些。


三、卡尔曼公式

综上所得,卡尔曼公式如下,含义也简单解释一下: 

本次的估计值 = 上一次的估计值 + 系数*(本次测量值 - 上一次的估计值)

 \hat{x_{k}}= \hat{x_{k-1}} + K_{k}(Z_{k} - \hat{x_{k-1}})

其中K_{k},Kalman Gain,表示卡尔曼增益/因素

通过公式可以看出来,本次的估计值\hat{x_{k}},与上一次的估计值\hat{x_{k-1}}有关。然后上一次的估计值,由与上上次的估计值有关;这是一种递归的思想。

这也是卡尔曼滤波器的优势,它不需要追溯很久以上的数据,只需拿上一次的数据就可以了。


四、卡尔曼增益 Kalman Gain

如何计算这个卡尔曼增益,这里给出一个公式,后面有机会再详细解释和推导。在此之前,首先介绍两个概念:

估计误差e_{EST},其中e是指error,误差的意思。EST是指Estimate,估计的意思。

测量误差e_{MEA},MEA是指Measure,测量的意思。真实值和测量值之间的误差。

卡尔曼增益K_{k}公式如下:(小k是指计算次数;k-1是k的上一次。)

卡尔曼增益 = 上一次的估计误差 除以 (上一次的估计误差 + 本次的测量误差)

五、更新估计误差e_{EST}

 估计误差在每次计算中,需要更新的,具体的公式如下:

公式含义:本次的估计误差 = (1 - 卡尔曼增益)* 上一次的估计误差


六、卡尔曼计算流程

首先计算卡尔曼增益K_{k},然后计算本次的估计值\hat{x_{k}},最后更新估计误差e_{EST}。 

第一步:卡尔曼增益 = 上一次的估计误差 除以 (上一次的估计误差 + 本次的测量误差)

第二步:本次的估计值 = 上一次的估计值 + 系数*(本次测量值 - 上一次的估计值)

第三步:本次的估计误差 = (1 - 卡尔曼增益)* 上一次的估计误差

如果错误请指出,谢谢;欢迎多多交流。


七、实例应用卡尔曼算法

前面讲了这么多理论的,可能不是太清晰,下面用测量硬币的例子,观察一下卡尔曼滤波的魅力。

硬币实际长度:50mm

用尺子手动测量误差是:3mm (即:测出来的结果范围在47mm——53mm之间)

假设模型M能估计硬币的长度

首先让模型M估计一个结果,比如:认为硬币只有40mm;估计误差可能是5mm。

按照卡尔曼算法流程,首先计算卡尔曼增益K_{k},然后计算本次的估计值\hat{x_{k}},最后更新估计误差e_{EST}。 即:

画一个表格,观察预测值,和手动测量值变化:

k Z_{k}测量值 e_{MEA.k}测量误差 k_{k}卡尔曼增益 \hat{x_{k}}估计值 e_{EST.k}估计误差
0 40 5
1 52 3 0.625 47.7 1.875
2 51 3 0.385 48.847 1.153
3 47 3 0.278 48.334 0.832
4 52 3 0.217 49.13 0.651
5 49 3 0.178 49.10 0.535

能看虽然手动测量不稳定,存在3mm的误差,但经过卡尔曼滤波后,输出的估计逐渐趋于真实值50,而且也比较稳定。

k =1;第一次手动测量为52mm

k_{1} = \frac{5}{5+3}=0.625

\hat{x_{1}} = 40 + 0.625 (52 - 40)=47.5

e_{EST.1} = (1-0.625)*5=1.875

k =2;第二次手动测量为51mm

k_{2} = \frac{1.875}{1.857+3}=0.385

\hat{x_{2}} = 47.5 + 0.385 (51 - 47.5)=48.847

e_{EST.2} = (1-0.385)*1.875=1.153

后面的可以自己推算一下。


八、卡尔曼滤波-递归算法 Python版

根据 卡尔曼滤波的流程,用Python写了一个代码,对应上面测量硬币的案例:

'''
卡尔曼滤波器--递归算法
Author: guopu
date: 2021-8-23
'''


k = 0        # 计算次数

msa = 0      # 手动测量结果
e_MEA = 0.0  # 手动测量误差

X_k0 = 0.0   # 上一次估计结果
X_k = 0.0    # 本次估计结果

e_EST0 = 0.0 # 上一次估计误差
e_EST = 0.0  # 本次估计误差

KK = 0.0     # 卡尔曼增益

'''
卡尔曼增益 = 上一次的估计误差 除以 (上一次的估计误差 + 本次的测量误差)
'''
def kalman_gain(e_EST0, e_MEA):
    return e_EST0/(e_EST0 + e_MEA)

'''
本次的估计值 = 上一次的估计值 + 系数*(本次测量值 - 上一次的估计值)
'''
def now_estimated_value(X_k0, kk, msa):
    return X_k0 + kk*(msa - X_k0)

'''
本次的估计误差 = (1 - 卡尔曼增益)* 上一次的估计误差
'''
def now_estimated_error(KK, e_EST0):
    return (1 - KK)*e_EST0


# 初始化数据 
true_Length = 50.0                # 硬币的真实长度
msa_list = [52, 51, 47, 52, 49]   # 5次的手动测量结果
e_MEA = 3.0                       # 手动测量误差
X_k = 40.0                        # 初始估计结果
e_EST = 5.0                       # 初始估计误差

X_list = []                      # 用来存放估计值


for k in range(0, len(msa_list)):
    KK = kalman_gain(e_EST, e_MEA)
    X_k = now_estimated_value(X_k, KK, msa_list[k])
    e_EST = now_estimated_error(KK, e_EST)

    print("\n k:", k+1)
    print("测量结果:", msa_list[k])
    print("估计结果:", X_k)
    X_list.append(X_k)

print("\n真实长度", true_Length)
print("\n5次测量结果:", msa_list)
print("\n5次估计结果:", X_list)
print("\n")

代码效果:


本文只提供参考和学习,谢谢。

(完)