在上一篇文章中，我们为读者介绍一些基本的概念，如什么是机器学习，什么是深度神经网络等。读者可能已经发现了，上文中，我们的主要使用示意图来介绍这些概念，虽然这种方式比较形象，但是，我们最终是要将这些概念转换成代码的——如果直接从示意图跨越到代码的话，感觉有些唐突，所以，这里需要一个过渡。
为此，我们将换个角度，用更为形式化的数学语言来描述这些概念，以便帮大家平滑地过渡到下一篇的内容：深度神经网络的代码实现。首先，我们可以把神经网络模型看作一个黑盒子，即函数。
把深度神经网络模型看作函数
为简单起见，我们可以把深度神经网络看成是一个具有魔力的黑盒子，我们把一张照片塞进去，它就能告诉我们照片里面是否是一只猫：
图1 将神经网络看作一个黑盒子
当然，我们从黑盒子外边看的话，貌似它施展了某种魔法。但是，如果我们深入黑盒子里边的话，就会发现，它是对塞进去的照片进行了某种处理，或者说，进行了某种映射……等一下，好像有点耳熟，“映射”不是函数干的活么？是的，我们完全可以把黑盒子看成一个函数！因此，如果用数学语言来描述的话，我们的深度神经网络就可以表示为一个非常简洁的函数表达式：
y = f(x)
严格来讲，上面描述的是模型的使用过程，也就是推理过程，前提是我们已经求出了相应的函数f()。那么，我们自然会问，该如何求解这个函数呢？这就需要借助于模型的训练过程了，也就是前面说的，用训练数据确定特定架构的神经网络的相应参数的过程。
这时，您可能要问了，函数真有这么大的魔力吗？这个不用太担心，不是曾经有过这么一个段子吗：给数学家3个参数，他们就能用函数拟合出一头大象；如果给他们4个参数，他们就能让这头大象奔跑如飞。更何况，我们的模型的参数，可远不止三四个参数！
相反，现实中我们更应该担心的是函数的过拟合现象。比如，我们训练神经网络的人脸照片中，有些带有“青春痘”，结果模型注意到了这现象，并把它当成了人脸的一个特征，那么，很可能导致一旦照片中出现了类似“青春痘”的图形，就会被模型误认为是人脸照片！
把输入和输出看作向量
当我们将小猫的照片传递给神经网络的时候，实际上，接收该照片的是神经网络的输入层。我们知道，输入层是由许多神经元，或者说是节点或子函数组成的，那么问题来了？每个神经元收到的是一幅完整的照片呢，还是照片的一部分呢？
实际上，每个神经元收到的只是照片的一部分，准确来说通常仅仅是一个像素。假设我们的照片含有i（如28×28）个像素，并且照片是黑白色的，那么，每个像素都有一个明确的位置和灰度值（一个从0到255的整数值）。接下来，我们按照某种顺序组织照片的像素——比如，按照从上到下每次取一行；对于每行，按照从左到右的顺序每次取一个灰度值，将其排成一列：
大家可能已经看出来了，这就是一个列向量。就黑白照片来说，该向量的元素的取值范围为0到255。需要注意的是，如果输入层的每个神经元只接受一个像素的话，那么，就本例来说，输入层就需要28 x 28 = 784个神经元。很明显，上面示意图中的输入层中画出的神经元明显不够用，并且还需添加不少！但是，这只是一个示意图而已，大家明白意思就行了。
上面看到，我们的神经网络的输入可以表示为一个列向量，那么，输出能否也表示成一个列向量呢？答案是肯定的。举例来说：假设我们的神经网络能识别3种动物，比如，猫、虎和豹，那么，我们可以设计这样一个列向量：
其中，向量y的各个元素可能的取值为0和1，并且，最多只有一个元素的值为1。这样的话，我们就可以让y1=1照片中的动物为猫，即：
同时，让y2和y3的值为1时分别表示照片中的动物虎和豹。当然，只要您喜欢的话，也可以设计其他的对应关系。因此，假设我们的深度神经网络可识别的类别数量为j，那么，我们就可以用下列表达式来描述该网络了：
其中，i是我们的神经神经网络的输入层中神经元的数量，就本例来说，就是输入的照片中的像素的数量，即784个。同时，j是网络输出层中神经元的数量，在本例中为3个。
此前，我们一直将表示深度神经网络的函数作为一个黑盒子来看待，接下来，我们要深入了解一下它的内部运行机制。
黑盒子是如何给出答案的
前面说过，深度神经网络的输入和输出可以用向量加以表示，类似的，神经网络的各层也可以表示为向量。那么，这里向量的元素表示什么呢？前面说过，神经网络中的各个节点，无论你叫它神经元还是函数，本质都是一样的：接收输入，进行加工，然后给出输出值。所以，这里向量元素可用于表示函数和函数的输出，但本质上是一样的，因为每个函数都对应于一个输出，因此，不妨直接让该向量元素表示函数的输出吧！
实际上，当我们使用深度神经网络计算答案的过程，就是数据从前往后流经神经网络各层，并进行相应的加工的过程。接下来，我们就看看神经网络中的各层到底对数据做了些什么？
首先，对于输入层，可以简单认为，该层中的函数只是接收一个像素值，然后，原封不动地输出。这样，输入层的输出就可以形成一个向量了。接着，该向量中各个元素值将通过相应的连接传递给下一层，即第一个隐藏层。需要说明的是，每层中的各个函数，通常称为激活函数，其输出值，相应称为激活值，通常用字母a表示。
现在，数据流到了第一个隐藏层。那么，我们可能会问：第一个隐藏层中的每个函数的输入，是向量中的某个值（即标量），还是整个向量呢？答案是后者。我们还有一个疑问：数据流经层与层之间的连接时，是否发生了变化呢？答案是肯定的，每个连接都对应于一个权重值w，所有流经它的数据都会进行加权处理，比如对于下图中第一个隐藏层中间位置的激活函数来说，
图2 第一个隐藏层中的示例激活函数
为了得到其输入值，需要用到下列各项内容：
图3 激活函数的输入
上图中，a表示输入层的激活值，w表示相应连接上的权重值，其下标表示它们在向量中的位置。此外，我们还看到灰色神经元左边还有一个字母b，它表示什么呢？这是一个常数，通常称为偏置项。它实际上就是每个神经元所特有的一个偏差值，该值越大，该神经元越容易被激活。
到现在为止，终于将神经元的输入的构成要素介绍完了，下面给出输入的合成方法：
更一般地说，如果上一层中共有n个神经元的话，那么，后面这一层中每个激活函数的输入的计算方法为：
也就是说，当前神经元的输入就是上一层的激活值加权求和，然后加上当前神经元的偏置项。假设当前神经元采用的激活函数为A，那么，其激活值的计算公式为：
上面介绍了如何合成激活函数的输入，接下来，我们聊一聊激活函数本身。
对于神经网络来说，可供选用的激活函数有很多，例如softmax函数、tanh函数、ReLU函数，等等。但是，具体选用哪种类型的激活函数，要视神经网络的类型以及所在的网络层而定。例如，目前的深度神经网络的隐藏层通常采用ReLU函数作为其激活函数。该函数有一个特点，那就是输入小于一定阈值时，其输出一直为0；当输入值大于该阈值时，其输出值就是其输入。如果将阈值指定为0的话，则该函数的公式如下所示：
ReLU(x) = max(0, x)
下面给出该函数的示意图：
图4 ReLU函数
该函数的行为与动物神经元有一个相似之处，那就是刺激信号低于阈值时，神经元一律没有反应；只有刺激信号大于阀值后，神经元才被激活。这一特性非常有用，尤其是在训练深度神经网络过程中，因为它对于让炼丹师们闻风丧胆两个问题——梯度消失和梯度爆炸，还是有不错的效果的！
好了，上面介绍了第一个隐藏层中单个神经元如何计算其输入值，以及可以选用哪些函数来处理这个输入值，从而得到该神经元的输出值，或者说，该激活函数的激活值。实际上，该层中的所有神经元都会进行同样的处理，因此，该层就会得到一个由激活值组成的向量。该向量继续向下传递，并由第二个隐藏层进行类似的处理；然后，重复这个前向传播过程，直到输出层，我们就会得到相应的答案了。
小结
在本文中，我们为读者介绍如何从数学的角度来描述神经网络的输入和输出，以及对于一个训练好的神经网络，它是如何分辨照片中的动物是否为一只猫的——推理过程。但是，大家可能注意到了，这里的前提是已经有一个训练好的神经网络了，那么，这个神经网络是如何训练的呢？请大家不要着急，我们将在下一篇文章中跟大家一起探索这个问题。