密码学基本原理（下）

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连载系列——It works,why?

在做密码学相关项目的时候，经常可以看到很多程序员，对密码学有哪些技术，每个技术怎么用一无所知。在选择合适的密码学技能来达成目标的时候，总是选择自己最熟悉的方案，这不一定是最好的方案，甚至不一定是合格的方案。后果往往有两个：一个是很多代码潜伏着安全隐患；另一个则是，很多算法并不如想象中那样工作。我们时时可以见到程序员对着电脑沉思，这个算法不能工作，Why？又时时可以见到，这个算法能工作，Why？因此我将在「It works,why?」系列文章中，论述常见的算法和常见应用，其中的“Why”。

《密码学基本原理（下）》本文简述了公钥密码学的常见算法和相关特征。

 

Public-key signature

公钥签署为三个函数：生成G，签署为S，校验为V。对任意数据d和密钥p：

  1. G可以生成私钥和公钥。即s,p=G()，其中s为私钥，p为公钥。公钥可以公开；
  2. 对于签署获得的v=S(d, s)，可以用V(d, v, p)来检验d和v是否成对；
  3. 攻击者在得知S，V，v，d，p的情况下，无法反推s。

 

单向陷门函数与DH密钥交换问题

上面说了公钥密码系统的目标，下面我们说说公钥系统的一般规律。公钥系统的一般原则是，用户持有私钥s，公开公钥p，然后利用单向陷门函数完成特定密码学目标。

假定我们有一个集合G，是集合G上的一个运算，满足交换率和结合率，O是集合G上的一个特定元素(或更普遍的，一类元素)，同时具有一个特点，求y=xO非常简单，求x使得对已知y有y=xO非常困难。

Kx的普遍算法，就是A和B各自随机生成一个元素ka和kb，计算pa=kaO和pb=kbO，再计算k=kbpa=kapb。由于kbpa=kb(kaO)=(kbka)O=(kakb)O和kapb=ka(kbO)=(kakb)O，因此k相等。同时由于*求逆非常困难，因此攻击者无法推出ka或kb，从而无法推出k。

Integrated Encryption Scheme

IES是一种基于Kx的加密算法，这种算法是非确定性的。

基于某种单项陷门函数，假设我们有某人A的公钥pa，如何利用pa加密数据，使得只有A能解开？

首先，生成随机密钥kb和公钥pb，而后计算k=kbpa，再用k生成密钥k’，用k’加密数据，并将pb和秘密数据c一同发送。接收者使用pb和ka计算k=kapb，进而可以得知密钥k’，从而可以解出明文。在IES体系中，用k获得k’的算法一般是某种KDF。

IES是一种非确定性加密，他很大程度上依赖于生成的随机密钥的安全，一旦有了随机密钥kb，就可以根据pa算出k，进而算出k’，如果随机密钥生成过程很容易被攻破，那么算法上再保障安全性也是没用的。

MQV

MQV是一种基于DH的带认证Kx算法。他首先假定Alice和Bob互相可信的持有对方的公钥，而后讨论如何在非可信信道上生成一个临时的公共秘密。注意这是一种非确定性算法(几乎所有的Kx都应该是非确定性算法，否则有被攻击导致前向安全性问题的可能性)。而且该算法不需要公钥系统带有签署能力(DH_RSA实际上是利用签署互信的非认证性Kx算法)，验证能力在算法内部。

Diffie-Hellman key exchange

Diffie-Hellman算法是密钥交换算法中最典型的一个，其依赖的是求离散对数问题(DLP)的复杂性。抽象的说，就是设定集合G为正整数集合，运算为sg = g^s mod p，其中p为预先约定变量，具体算法如下：

通信双方 Alice 和 Bob 需要约定好算法参数：一个素数 p 作为模数，一个素数 g 作为基数（生成元），可对外公开。

对 Alice 来说，先想好一个自然数 a 作为私钥，然后计算 pa = g^a mod p 作为公钥；

对 Bob 来说，先想好一个自然数 b 作为私钥，然后计算 pb = g^b mod p 作为公钥。

之后互换公钥，然后

Alice 计算出 k = pb^a mod p；

Bob 计算出 k = pa^b mod p。

我们取wiki上的例子：

  1. Alice和Bob约定p=23，g=5；
  2. Alice选取a=4，计算pa=5^4mod23=4。Alice将4发送给Bob；
  3. Bob选取b=3，计算pb=5^3mod23=10。Bob将10发送给Alice；
  4. Alice计算k=10^4mod23=18；
  5. Bob计算k=4^3mod23=18。

算法可以确保以下几点：

Alice 与 Bob 计算出的 k 必定是一致的；

双方都无法根据已知的数来推算对方私钥；

第三方可以看到 p、g、pa、pb、但无法推算出 a 与 b ，因此也无法推算 k。

 

RSA系列算法

RSA是非对称密码算法中最著名的一项。这个算法包含了以下功能：

  1. 生成算法G
  2. 加密算法E
  3. 解密算法D
  4. 签署算法S
  5. 验证算法V
  6. 密钥交换算法

特别需要注意一点，RSA的加密算法并没有使用IES体制，RSA算法族里自带了加解密和签署。从某种意义上说，RSA其实和上面说的一般性单向陷门函数算法为基础的算法有所区别。

生成算法

  1. 首先有素数p和q，称为prime1和prime2；
  2. 计算n=p*q，称为modulus；
  3. 求n的Euler totient functionφ(n)=(p-1)*(q-1)；
  4. 选择一个和φ(n)互素的数e，称为public exponent；
  5. 计算e对欧拉函数φ(n)的模反元素d，使得ed = 1 mod φ(n)。d称为private exponent。基于欧拉公式我们可知e^φ(n) = 1 mod φ(n)，即e*e^(φ(n)-1) = 1 mod φ(n)。因此可以取d = e^(φ(n)-1) mod φ(n)；
  6. 公开modulus和public exponent，为公钥。保留modulus和private exponent，作为私钥，其余需要保密（因为可以推出整套公私钥）。

PS: 3中说是Euler function，实际上Carmichael function（https://en.wikipedia.org/wiki/Carmichael_function）就行，欧拉函数总是其整数倍，因此也能工作，就是数字比较大。Carmichael函数λ(n)=lcm(p-1, q-1)=(p-1)*(q-1)/gcd(p-1, q-1)=φ(n)/gcd(p-1, q-1)。

例如取wiki上的例子：

  1. p=61，q=53；
  2. n=61*53=3233；
  3. φ(n)=60*52=3120（原文里，取的是Carmichael函数，λ(n)=3120/gcd(61,53)=780）；
  4. e=17（在实践中，这个值一般都是65537）；
  5. d = 17^(3120-1) mod 3120 = 2753（原文取d=413）。

在这里，n和d为私钥，n和e为公钥，通过n和e无法构造e。这里可能会引起一个误解：既然e和d两者对称，一个加密一个就能解密，一个签署一个就能验证，所以公开一个隐藏另一个就行，具体是哪个是都可以的，但是实践中，e经常取65537，是一个相对比较小的数，如果公开比较长的数d，那么通过猜测计算e(即使不是65537)将不会是一个太难的事，因此实践中总是固定并公开e，保留比较复杂的数d。

同时我们可以看到，一般来说，通过n和d也无法构造e。即通过私钥无法推导出公钥（e能够被猜出来是另一回事）。要构造e和d，正常方法就是使用p和q计算Eular function。

加密解密算法

对于数据m，密文c的计算方法为：

c = (m^e) mod n

解密算法则为：

m = (c^d) mod n

由mod n可以看出，密文最大长度和n同数量级，因此modulus又被称为RSA算法的块长度，注意上面求d的时候用的是Euler function，现在用的是Modulus，两者不一致。

实例还是用wiki，m=65。

c = 65^17 mod 3233 = 2790
m = 2790^413 mod 3233 = 2790^2753 mod 3233 = 65

可以看到，d有多个合法值，而且使用Carmichael函数还是Euler函数并无关系。

签署验证算法

和加解密算法类似，对消息m，先使用私钥d进行运算的结果v，可以用公钥运算得到原始数据d。

例如m=65，我们来验证签署。

v = 65^413 mod 3233 = 588
m = 588^17 mod 3233 = 65

注意，这个签署算法实际可以解出原始数据，这和普通的验证算法很不一样。一般而言，签署算法根本没必要，或者无法解出原始数据。

密钥协商算法

根据这里：https://security.stackexchange.com/questions/8343/what-key-exchange-mechanism-should-be-used-in-tls，RSA为基础的交换算法有三种：

RSA: 客户端随机选择一个秘密s，用服务器的公钥加密，服务器用私钥解密；

DH_RSA: 服务器给出一个静态DH公钥，同时这个公钥使用服务器cert对应的私钥签署以防篡改；

DHE_RSA: 类似于DH_RSA，但是服务器动态生成一个DH公钥。E是ephemeral的意思。

由于服务器DH公钥被签署了，因此MITM的攻击者无法给用户一个自己控制了私钥的DH公钥。因而无法冒充服务器端。

当然，我们可以根据密码学常识推断出，DH_RSA和DHE_RSA是前向安全的，而RSA本身是前向非安全的。

最佳实践

RSA目前来看还是最经久耐用的非对称密码系统，他支持的能力极为全面，包含了加解密，签署，Kx等领域，相比起来，ECC的加解密就不是很强。有ECIES，但是很多地方没有实现。

正确使用RSA有一定的困难，因为数论领域(准确说是number field sieve)的飞速发展，所以RSA长度也是飞速增加。目前1024位的RSA已经不安全了，建议值是2048，计算一下就知道，这需要256字节。虽然选用4096更有保证，但是在密集计算的时候选用4096，会导致消耗大量CPU，因此只建议在长期使用的密钥上使用4096位（例如gpg私钥）。

TODO: RSA-OAEP

还有就是RSA受量子计算机的威胁，量子计算机算法中最具备代表性的shor算法就是用来解决大质数分解问题的。

 

ECC系列算法

ECC是非对称密码体系中的一个大类（其实总共就两个大类，一个RSA一个ECC），基本原理比较复杂，这里就不展开了，基本涉及的算法有：

ECDH: 密钥交换算法

ECIES: 加密算法，IES加密算法的ECC版本

ECDSA: 签署算法

EdDSA: 签署算法

ECMQV: 密钥交换算法

ECDH

ECDH是基于ECC和DH的Kx算法。

首先确定曲线E(q)和基点G(注意这是一个数，但是使用大写)，这两个的选取过程是通过一定的设计得出的，不同的设计得出的被称为不同的曲线，而后，每个人确定自己的私钥k，并且计算p=k*G。

我们还是用Alice和Bob来分析，对Alice来说，pa=kaG，对Bob来说，pb=kbG，最后双方运算p=kapb=kbpa=kakbG，因此双方得到同样的p。

和DHE类似的，ECDH存在一个动态生成k的算法变形ECDHE。

ECDSA

ECDSA（https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_Curve_Digital_Signature_Algorithm ）是基于ECC的签署算法，是一种非确定性算法。具体算法请看wiki，或者进一步找一本ECC密码学的书看。

EdDSA

EdDSA（https://en.wikipedia.org/wiki/EdDSA）也是一个基于ECC的签署算法，和ECDSA最大的区别是，EdDSA是一种确定性算法，不需要借助随机数。

安全实践

ECC系列的密码长度非常短，同时，算法量要比RSA低非常多。一般来说ECC的密钥是攻击量的一倍。例如攻击量是2^80(这是一个常见的值)，那么密钥长度最低需要160。NIST的推荐值是用224，合28bytes。具体可以查看这里：https://www.keylength.com/en/compare/ 。

 

最佳实践

密码学里一个很反直觉的东西就是，千万不要因为标准库慢就自己实现，标准库中很多算法都是常数时间算法，具体可以看看时间攻击和侧信道攻击这两种脑洞大开的东西，包括安全界赫赫有名的Meltdown，也是一种侧信道攻击。请在理解原理的基础上，务必使用强大可靠的开源库(注意开源是一个必要条件)。

 

random

随机数关系到整个系统的安全，请不要随意处理，尤其是不要拿time作为seed设定一下random然后就施施然用了。很多时候random被调用的时刻是固定的，可以被回朔到1-2秒的范围内，time的精度在10^-3到10^-6这个量级上。综合起来可以知道，对随机数进行穷举攻击的开销最高只有2E6而已，这个量级甚至不能作为有效的阻碍。

要获得随机数，比较合理的方法是使用/dev/random和/dev/urandom，以及getrandom调用。/dev/random和urandom的区别在于，random会返回随机数，而urandom返回伪随机数(准确的说，在新版内核上，生成函数是chacha20)，因此random会因为耗尽而阻塞，urandom不会。不知为何，这份指南（https://www.cnblogs.com/windydays/p/2015_modern_crypto_practice.html）推荐大家避开random。

无论如何，如果你觉得随机性不够，还可以加入random.org的数据来增强随机性。

【It works,why?】后期预告：

《openssl基本密码学操作》

《openssl证书相关》

作者介绍：Shell，一个普通程序员。有的时候写写程序，有的时候潜潜水，大部分时候，他都在发呆。

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审核人：yiwang   编辑：少爷

（完）