深入分析CTF中的LFSR类题目（一）

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前言

LFSR（线性反馈移位寄存器）已经成为如今CTF中密码学方向题目的一个常见考点了，在今年上半年的一些国内赛和国际赛上，也出现了非常多的这类题目，但是其中绝大多数题目目前都没有writeups（或者writeups并没有做cryptanalysis，而是通过爆破的方法解决，这种思路只适用于部分类似去年强网杯出现的几道非常基础的LFSR类题目有效，对于绝大多数国际赛上的题目不仅是没有任何效果的，也是没有任何意义的，只有真正掌握了LFSR的密码学原理，才有可能在国际赛上解决一道高分值的LFSR类题目），网上针对这类考点的详细分析也不多，因此接下来我将通过几篇文章，对这类知识点进行一个详细的分析。

 

LFSR简介

在介绍LFSR之前，我们先对它的归属有一个大致的了解，LFSR是属于FSR（反馈移位寄存器）的一种，除了LFSR之外，还包括NFSR（非线性反馈移位寄存器）。

FSR是流密码产生密钥流的一个重要组成部分，在GF(2)上的一个n级FSR通常由n个二元存储器和一个反馈函数组成，如下图所示：

如果这里的反馈函数是线性的，我们则将其称为LFSR，此时该反馈函数可以表示为：

其中ci=0或1，⊕表示异或（模二加）。

我们接下来通过一个例子来更直观的明确LFSR的概念，假设给定一个5级的LFSR，其初始状态（即a1到a5这5个二元存储器的值）为：

其反馈函数为：

整个过程可以表示为下图所示的形式：

接下来我们来计算该LFSR的输出序列，输出序列的前5位即为我们的初始状态10011，第6位的计算过程如下:

第7位的计算过程如下:

由此类推，可以得到前31位的计算结果如下：

1001101001000010101110110001111

对于一个n级的LFSR来讲，其最大周期为2^n-1，因此对于我们上面的5级LFSR来讲，其最大周期为2^5-1=31，再后面的输出序列即为前31位的循环。

通过上面的例子我们可以看到，对于一个LFSR来讲，我们目前主要关心三个部分：初始状态、反馈函数和输出序列，那么对于CTF中考察LFSR的题目来讲也是如此，大多数情况下，我们在CTF中的考察方式都可以概括为：给出反馈函数和输出序列，要求我们反推出初始状态，初始状态即为我们需要提交的flag，另外大多数情况下，初始状态的长度我们也是已知的。

显然，这个反推并不是一个容易的过程，尤其当反馈函数十分复杂的时候，接下来我们就通过一些比赛当中出现过的具体的CTF题目，来看一下在比赛当中我们应该如何解决这类问题，由于不同题目之间难度差异会很大，所以我们先从最简单的题目开始，我将尽可能的用最通俗的语言和脚本来进行演示，在后面会逐渐提升题目的难度，同时补充相应的代数知识。

 

CTF例题演示

2018 CISCN 线上赛 oldstreamgame

题目给出的脚本如下：

flag = "flag{xxxxxxxxxxxxxxxx}"
assert flag.startswith("flag{")
assert flag.endswith("}")
assert len(flag)==14

def lfsr(R,mask):
    output = (R << 1) & 0xffffffff
    i=(R&mask)&0xffffffff
    lastbit=0
    while i!=0:
        lastbit^=(i&1)
        i=i>>1
    output^=lastbit 
    return (output,lastbit)

R=int(flag[5:-1],16)
mask = 0b10100100000010000000100010010100

f=open("key","w")
for i in range(100):
    tmp=0
    for j in range(8):
        (R,out)=lfsr(R,mask)
        tmp=(tmp << 1)^out
    f.write(chr(tmp))
f.close()

分析一下我们的已知条件：

已知初始状态的长度为4个十六进制数，即32位，初始状态的值即我们要去求的flag。
已知反馈函数，只不过这里的反馈函数是代码的形式，我们需要提取出它的数学表达式。
已知输出序列。

那么我们的任务很明确，就是通过分析lfsr函数，整理成数学表达式的形式求解即可，接下来我们一行一行的来分析这个函数：

#接收两个参数，R是32位的初始状态(即flag)，mask是32位的掩码，由于mask已知，所以我们就直接把他当做一个常数即可。
def lfsr(R,mask):

#把R左移一位后低32位（即抹去R的最高位，然后在R的最低位补0）的值赋给output变量。
    output = (R << 1) & 0xffffffff

#把传入的R和mask做按位与运算，运算结果取低32位，将该值赋给i变量。
    i=(R&mask)&0xffffffff

#从i的最低位向i的最高位依次做异或运算，将运算结果赋给lastbit变量。
    lastbit=0
    while i!=0:
        lastbit^=(i&1)
        i=i>>1

#将output变量的最后一位设置成lastbit变量的值。
    output^=lastbit

#返回output变量和lastbit变量的值，output即经过一轮lfsr之后的新序列，lastbit即经过一轮lfsr之后输出的一位。
    return (output,lastbit)

通过上面的分析，我们可以看出在这道题的情境下，lfsr函数本质上就是一个输入R输出lastbit的函数，虽然我们现在已经清楚了R是如何经过一系列运算得到lastbit的，但是我们前面的反馈函数都是数学表达式的形式，我们能否将上述过程整理成一个表达式的形式呢？这就需要我们再进一步进行分析：

mask只有第3、5、8、12、20、27、30、32这几位为1，其余位均为0。
mask与R做按位与运算得到i，当且仅当R的第3、5、8、12、20、27、30、32这几位中也出现1时，i中才可能出现1，否则i中将全为0。
lastbit是由i的最低位向i的最高位依次做异或运算得到的，在这个过程中，所有为0的位我们可以忽略不计（因为0异或任何数等于任何数本身，不影响最后运算结果），因此lastbit的值仅取决于i中有多少个1：当i中有奇数个1时，lastbit等于1；当i中有偶数个1时，lastbit等于0。
当R的第3、5、8、12、20、27、30、32这几位依次异或结果为1时，即R中有奇数个1，因此将导致i中有奇数个1；当R的第3、5、8、12、20、27、30、32这几位依次异或结果为0时，即R中有偶数个1，因此将导致i中有偶数个1。
因此我们可以建立出联系：lastbit等于R的第3、5、8、12、20、27、30、32这几位依次异或的结果。

将其写成数学表示式的形式，即为：

显然，lastbit和R之间满足线性关系，那么接下来我们就可以开始求解了：

我们想象这样一个场景，当即将输出第32位lastbit时，此时R已经左移了31位，根据上面的数学表达式，我们有：

这样我们就可以求出R的第1位，同样的方法，我们可以求出R的第2位：

以此类推，R的全部32位我们都可以依次求出了，将这一计算过程写成代码形式如下：

mask = '10100100000010000000100010010100'
key = '00100000111111011110111011111000'

tmp=key

R = ''
for i in range(32):
    output = '?' + key[:31]
    ans = int(key2[-1-i])^int(output[-3])^int(output[-5])^int(output[-8])^int(output[-12])^int(output[-20])^int(output[-27])^int(output[-30])
    R += str(ans)
    key = str(ans) + key[:31]

R = format(int(R[::-1],2),'x')
flag = "flag{" + R + "}"
print flag

运行代码即可得到flag：
flag{926201d7}

如下题目的分析方法同上：

2018 强网杯 线上赛 streamgame1
2018 强网杯 线上赛 streamgame2
2018 强网杯 线上赛 streamgame4
2018 HITB-XCTF 线上赛 streamgamex

 

总结

在本篇文章中，我们首先对CTF中LFSR类题目的基本模型做了一个介绍，然后通过一道比较典型的CTF题目，对如何在比赛中解决这类题目做了进一步的阐述。诚然，这只是LFSR类型题目的冰山一角，在后面的文章中，我们会逐渐提示LFSR题目的难度，同时补充上对应的代数知识，感谢大家的阅读。

 

参考

https://ctf-wiki.github.io/ctf-wiki/crypto/streamcipher/fsr/intro/

（完）